理科系の備忘録

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積分結果が初等関数で表せない積分

積分


{ \int_0^a x^2 e^{-x^2} dx}
を計算しようとして詰まった.解析的に定積分を行うのは久々である.
"expの微分は,指数部分の微分が係数になる"という記憶しかない.

ここで,すべての数式が初等関数で表現できるとは限らないということを思い出す.定積分は存在するが,初等関数で積分した後の関数を表せない積分も存在する.

初等関数(しょとうかんすう)とは,複素数を変数とする多項式関数・指数関数・対数関数主値の四則演算・合成によって表示できる関数である.(Wikipedia 初等関数)
初等関数の導関数は必ず初等関数になるが、初等関数の原始関数、及び初等関数を用いた微分方程式の解は必ずしも初等関数になるとは限らない。 (Wikipedia 初等関数)

積分結果が初等関数で表せない場合,

    1. 数値積分を行う
    2. 特殊関数を使って積分結果を表す

という方法がある.

先に上げた数式の不定積分を後者の方法で表現すると以下のようになる.


{ \int_0^a x^2 e^{-x^2} dx   =  \frac{ \sqrt{\pi} } {4} erf( x ) - \frac{x}{2} e ^{-x^2}  + C }
ただしCは定数,erfは誤差関数と呼ばれる特殊関数であり,

{ erf( x ) =   \frac{2}{\pi}  \int_0^x e^{-t^2} dt   }
で表される.